В кабинете царила тишина.
Слышно было лишь, как тикают настенные часы.
Чэнь Чжо смотрел на задачу.
Он взял перьевую ручку.
Знакомое холодное ощущение металла просочилось от кончиков пальцев к нервным центрам головного мозга.
Он не стал писать сразу.
В уме он начал разбирать условие.
Простое число p.
Степень p-2.
Делимость.
Эти ключевые слова, собранные воедино, мгновенно пробудили в глубинах его памяти одну теорему.
Малая теорема Ферма.
A^(p-1)≡ 1 (mod p) (когда a не кратно p).
Один из краеугольных камней теории чисел.
Чэнь Чжо поправил очки.
Эта задача.
Для ученика средней школы она действительно выходила за рамки программы, будучи почти извращенной.
Даже для школьных олимпиад высокого уровня она не была простой.
Потому что требовалось не только знать малую теорему Ферма, но и уметь гибко использовать обратные элементы.
Однако в глазах Чэнь Чжо это была весьма любопытная задача.
Что такое 2^(p-2)?
Согласно малой теореме Ферма, 2^(p-1)≡1(mod p).
Следовательно, 2^(p-2)≡2^( – 1)(mod p).
То есть это обратный элемент для 2 по модулю p.
Точно так же 3^(p-2) – обратный элемент для 3.
6^(p-2) – обратный элемент для 6.
Тогда задача сводится к доказательству:
2^( – 1)+3^( – 1)+6^( – 1) – 1≡0(mod p).
Это же элементарно.
Чэнь Чжо едва не рассмеялся.
1/2+1/3+1/6=3/6+2/6+1/6=6/6=1.
1–1=0.
Что и требовалось доказать.
В этом и заключается красота математики.
На вид сложные степенные вычисления под линзой теории чисел сводятся к простейшему сложению и вычитанию обыкновенных дробей из начальной школы.
Великое заключается в простоте.
Чэнь Чжо снял колпачок с ручки.
Черновиком он пользоваться не стал.
Он начал писать прямо на полях листа.
Не нужно чертить графики, не нужно предполагать сопротивление воздуха.
Достаточно лишь нескольких четких сравнений.
∵p – простое число, p＞3.
∴(2, p)=1, (3, p)=1, (6, p)=1.
Согласно малой теореме Ферма:
2^(p-1)≡1(mod p)⇒2^(p-2)·2≡1(mod p)
…
Чэнь Чжо писал быстро.
Перо с тихим шелестом скользило по бумаге.
Не прошло и двух минут, как он закончил.
Последняя строка.
∴ Исходное выражение≡1–1≡0(mod p)
Ч. Т. Д.
Чэнь Чжо закрыл ручку и пододвинул лист старику Чжао.
— Готово.
Старик Чжао до этого момента молчал, не сводя глаз с руки Чэнь Чжо.
Как только тот вывел первый символ сравнения «≡», зрачки учителя расширились.
Он понял: победа за ними.
Мальчик не просто справился – он использовал самый стандартный и элегантный язык теории чисел.
Он не стал прибегать к громоздкому разложению бинома, а сразу попал в суть проблемы.
Обратный элемент.
Старик Чжао взял лист.
Он смотрел на эти строки стройных вычислений.
Эта логическая плавность, эта изящность чисел – просто совершенство.
— Хорошо! — Старик Чжао с силой ударил по столу, отчего крышка чайной чашки подпрыгнула.
— Хороша малая теорема Ферма!
— Хорош обратный элемент!
Старик Чжао смотрел на Чэнь Чжо с таким фанатичным блеском в глазах, что, казалось, мог поглотить его целиком.
— Я ведь знал.
— Я ведь знал, что мозги этого мальчишки созданы исключительно для математики.
— А старик Чжоу, этот горе-физик, ни черта не смыслит в подобной красоте.
Старик Чжао встал, отстегнул от ремня увесистую связку ключей и принялся с лязгом перебирать их.
Наконец он извлек немного заржавевший латунный ключ.
Положил его перед Чэнь Чжо.
— Возьми.
Чэнь Чжо посмотрел на ключ. (Учителя в этой школе были просто помешаны на раздаче ключей).
— Это от чего?
— От архива на чердаке, — в голосе старика Чжао зазвучала гордость.
— Там хранятся все варианты Всекитайской математической олимпиады с восемьдесят пятого года по сей день и немало материалов для национальной сборной.
— Методички для тренировочных сборов я в свое время выпрашивал у своего однокурсника, нынешнего председателя провинциальной ассоциации математиков, и притаскивал сюда целыми ящиками.
— Некоторых материалов уже давно нет в продаже.
— По школьному уставу это секретное помещение, туда может входить только глава методического объединения.
Старик Чжао понизил голос, словно доверяя государственную тайну.
— Ходи туда когда хочешь, читай что хочешь.
— Только не вздумай там ничего поджечь, в остальном – делай что угодно.
Старик Чжао помолчал, затем продолжил:
— И еще.
— Я уже записал тебя на национальную олимпиаду по математике среди средних классов в следующем году.
— С сегодняшнего дня ты основной игрок школьной команды.
— Отныне по вечерам в понедельник и среду – математические сборы, а во вторник и четверг после обеда – можешь хоть до ночи бездельничать у старика Чжоу.
— Что же до остальных уроков… — старик Чжао махнул рукой.
— Пока ты пишешь промежуточные и итоговые экзамены нормально, я не только буду выписывать тебе освобождения, но если у кого-то возникнут вопросы – пусть приходят ко мне!
Двойная привилегия.
Двойной двигатель.
Чэнь Чжо протянул руку и обхватил латунный ключ.
Холодный, увесистый.
— Спасибо, учитель Чжао.
Чэнь Чжо встал и поклонился.
Чистая правда.
В это время встретить двух таких учителей, которые ради него готовы ломать систему и даже соперничать друг с другом – настоящая удача.
Чэнь Чжо вышел из кабинета.
В левом кармане брюк – ключ от физической лаборатории, в правом – от математического архива.
Он шел по коридору, чувствуя себя так, словно его подгонял ветер.
Стоило завернуть за угол, как он нос к носу столкнулся с человеком.
Старик Чжоу.
С учебниками под мышкой он направлялся на урок в восьмой класс.
Увидев, как Чэнь Чжо выходит из кабинета администрации, а следом заметив старика Чжао, который стоял в дверях и с сияющим видом провожал мальчика взглядом, он всё понял.
А старик Чжоу был человеком проницательным.
Его узкие глаза сощурились, и он мгновенно вычислил ситуацию.
Старик Чжоу остановился, перегородив Чэнь Чжо путь.
— Старик Чжао вызывал?
Голос его звучал с кислой ноткой, словно он залпом выпил полбутылки ядреного уксуса.
Чэнь Чжо остановился и кивнул.
— Да.
— И что же эта старая лиса наплела тебе, чтобы затуманить разум?
Старик Чжоу покосился на топорщащийся правый карман Чэнь Чжо.
— Он сказал, что физика – это мясо, а математика – кости, — честно ответил Чэнь Чжо.
— …И что без костей мясо – это просто бесформенная груда грязи.
— Ха!
Старик Чжоу даже рассмеялся от возмущения.
— Этот старик, язык у него всё такой же ядовитый.
Он переложил книги под другую руку и с выражением крайнего пренебрежения изрек:
— Кости? А если есть только кости без мяса, что это такое?
— Это скелет! Это экспонат! Это мертвое!
— Физика – вот что по-настоящему живо! В ней есть кровь, плоть, она способна двигаться!
Старик Чжоу ткнул пальцем в грудь Чэнь Чжо.
— Парень, не дай ему задурить себе голову.
— Математика – это инструмент, это молоток, это гаечный ключ. Мы, физики – те, кто строит машины, используя эти инструменты. Ты видел хоть одного мастера, который поклонялся бы своему молотку?
Чэнь Чжо, глядя на старика Чжоу, который одновременно злился и проявлял типичную для учителя заботу о своем ученике, едва сдержал улыбку.
Но он справился.
Будучи по-настоящему зрелым человеком, он обладал большим опытом в подобных делах.
— Учитель, — Чэнь Чжо поправил очки и добавил со всей искренностью:
— Думаю, учитель Чжао тоже по-своему прав.
— Что?
Брови старика Чжоу поползли вверх.
— Если молоток плохой, то и машина получится грубой.
Чэнь Чжо похлопал по правому карману, где лежал ключ от математического архива.
— Я хочу сперва получше наточить молоток, а потом уже строить ваши машины.
Старик Чжоу замер на секунду.
Он пристально вглядывался в Чэнь Чжо несколько мгновений.
А потом рассмеялся.
Да так, что морщины на его лице разгладились.
— Ну ты и нахал, малявка.
Старик Чжоу шутливо выругался и взлохматил Чэнь Чжо волосы.
— Решил усидеть на двух стульях, да? И тут успеть, и там подлизать?
— Ладно, есть в тебе хватка.
— Раз уж тебе не лень, бегай туда-сюда.
Старик Чжоу махнул рукой, отходя в сторону.
— Проваливай, проваливай, не мешай мне на урок идти.
Чэнь Чжо кивнул и бодрым шагом направился дальше.
Старик Чжоу остался стоять на месте, провожая его взглядом, а затем обернулся к кабинету, где у дверей, насмешливо глядя на него, стоял старик Чжао.
Два старика, которым на двоих было почти сто лет, через пятнадцатиметровый коридор обменялись недобрыми взглядами.
— Старая развалина.
— Старый хрыч.
Оба проворчали это практически одновременно.
А затем.
Каждый развернулся и ушел, довольный собой.
Солнце в коридоре светило ярко.
А цикады всё продолжали свой стрекот.
Комментарии