В лаборатории дни Чэнь Чжо проходили весьма гармонично.
Он уютно устраивался в лаборатории, где обдувал теплый воздух.
Листал ту самую красную книгу, которую дал старик Чжоу.
Изредка помогал старику Чжоу объяснять задачи Ли Хао и Чжан Вэю, подтягивая их по учебе.
Некоторое время назад старик Чжоу назначил Чэнь Чжо капитаном, хотя в их отряде было всего трое.
Ли Хао и Чжан Вэй, разумеется, двумя руками и ногами проголосовали «за».
С тех пор, как Чэнь Чжо несколько раз разобрал для них задачи, его стали называть капитаном с таким искренним восхищением, что в этом не было ни тени сомнения.
В их глазах задачи, которые казались невыполнимыми и совсем не предназначенными для простых смертных, в руках Чэнь Чжо решались в два счета.
Главное – методы, которыми учил Чэнь Чжо, они понимали без труда.
Это было поистине удивительно.
Что касается старика Чжао, в математической группе было пямеро человек: трое парней и две девушки, а с Чэнь Чжо – ровно шестеро.
В тот вечер, когда набралось нужное число участников, старик Чжао пришел на вечернюю самоподготовку и с размаху написал на доске задачу.
Итог был предсказуем.
Чэнь Чжо без всяких проблем стал капитаном математической группы.
Только вот неизвестно почему.
Кажется, его запасы закусок становились все больше и больше.
…
Среда, семь тридцать вечера.
Специализированный класс олимпиадной математики на верхнем этаже административного корпуса Первой городской средней школы.
Здесь было очень сухо, а воздух был пропитан особым, успокаивающим запахом старой бумаги.
Плотные темно-красные бархатные шторы были задернуты наглухо, полностью отсекая ночной мрак снаружи и звонок, оповещающий об окончании вечерней учебы в школе.
В комнате стоял лишь один массивный стол из красного дерева, над которым горела яркая лампа накаливания.
В свете лампы сидели пятеро.
Трое парней и две девушки.
Эти пятеро были «звездным составом» математической олимпиадной группы средней ступени Первой городской.
Ван Ян из девятого класса, лучший математик параллели, в очках с линзами толще донышка бутылки, неистово грыз колпачок ручки.
Чжао Чэнь, также из девятого, был настоящим математическим фанатиком; сейчас он так усердно ерошил свои и без того растрепанные волосы, что они превратились в гнездо.
Также там был пухлый второклассник Лю Кай и две девушки: Нань Сяоюнь и Линь Сяо.
Они вели себя очень тихо.
Помимо шороха пишущих ручек и редких вздохов, почти не было слышно ни звука.
Он сидел в самом конце длинного стола.
Держа в руках найденный на полке журнал «Средняя математика» с наполовину оторванной обложкой, он читал его с огромным интересом.
Пятеро ребят застряли на одной задаче.
Классическая задача по комбинаторной геометрии.
Условие было набросано на черновике:
«Можно ли покрыть квадратную доску размером 6×6 прямоугольниками 1×4 (домино) без перекрытий? Если нельзя, приведите обоснование».
Задача была очень простой.
Настолько простой, что поймет даже ученик младших классов.
Но решать её было мучительно.
— А разве нельзя? — Ван Ян рисовал на бумаге клетки.
— Смотрите, площадь 6×6=36, площадь прямоугольника – 4, 36 делится на 4, по площади всё сходится!
— То, что площадь сходится, не значит, что получится покрыть, — возразил Чжао Чэнь. — Я пробовал кучу раз, у меня каждый раз в углу лишний кусок остается.
— Может, нужно разбить 6×6 на несколько маленьких прямоугольников? — Тоже пробовала разобраться Нань Сяоюнь. — Например, на блоки 2×4? Ой, нет, шесть на четыре не делится…
— В лоб точно не выйдет, тут нужна закономерность, — Лю Кай грыз ручку. — Может, метод от противного?
Спор становился все громче.
Слишком шумно.
Такие хаотичные попытки напоминали метание в темноте.
Чэнь Чжо закрыл журнал «Средняя математика» и тихо вздохнул.
Он обхватил книгу и, спрыгнув со стула, медленно подошел к другому концу стола.
Он встал между Ван Яном и Чжао Чэнем.
— Застряли? — Голос Чэнь Чжо звучал ровно, без эмоций, словно он спрашивал, поели ли они.
Споры мгновенно стихли.
Пятеро уставились на своего девятилетнего капитана.
— Да, застряли намертво, — Ван Ян пододвинул исчерканный черновик и немного смущенно почесал в затылке.
— Кажется, что можно покрыть, но нарисовать не выходит. Хотя по площади всё совпадает.
Чэнь Чжо взглянул на условие.
— Совпадение по площади – необходимое условие, но не достаточное.
Чэнь Чжо протянул руку и достал из подставки красную ручку.
Он не стал рисовать эти сложные прямоугольники.
Он взял листок с клетчатым полем 6×6.
— Не рисуйте фигуры, — негромко сказал Чэнь Чжо.
— Используйте раскраску.
— Раскраску? — Нань Сяоюнь растерялась. — Как в шахматах, черные и белые клетки?
— Черно-белые не помогут, — покачал головой Чэнь Чжо.
— Это для прямоугольников 1×2, а здесь 1×4.
Его ручка уже начала расставлять в клетках цифры.
— Раз здесь 1×4, нужно использовать четыре цвета.
Он не стал заполнять их хаотично, а применил правило:
Клетке в строке i и столбце j присвоить число, равное остатку от деления (i+j) на 4.
Для удобства остатки обозначил как 0, 1, 2, 3.
Он быстро заполнил первую строку (i=1):
При j=1, i+j=2, остаток 2;
j=2, i+j=3, остаток 3;
j=3, i+j=4, остаток 0;
j=4, i+j=5, остаток 1;
j=5, i+j=6, остаток 2;
j=6, i+j=7, остаток 3.
Таким образом, первая строка: 2, 3, 0, 1, 2, 3.
Он последовательно выписал шесть строк, составив числовую матрицу.
— Смотрите, — Чэнь Чжо указал на матрицу.
— Как бы вы ни положили прямоугольник 1×4, горизонтально или вертикально, он перекроет четыре клетки подряд. Согласно этому правилу нумерации, накрытые им четыре числа обязательно будут 0, 1, 2 и 3 по одному разу, без повторов.
— Другими словами, каждый прямоугольник забирает ровно по одной единице каждого из чисел: 0, 1, 2 и 3.
— Если доску можно полностью покрыть прямоугольниками, то количество чисел 0, 1, 2 и 3 на доске должно быть строго одинаковым.
Чэнь Чжо отложил ручку, поднял голову и посмотрел через очки на своих старших сокурсников.
— А теперь посчитайте, сколько на этой доске каждого числа.
Ван Ян поспешил считать.
Посчитав нули, а затем единицы, он нахмурился.
— Не сходится… Нулей 9, единиц только 8, двоек 9, а троек… 10, их количество не равно!
— Поэтому, — голос Чэнь Чжо оставался спокойным.
— Предположив, что покрытие возможно, мы требуем равенства количества четырех чисел, но фактически они не равны. Противоречие. Следовательно, невозможно покрыть доску 6×6 прямоугольниками 1×4 без перекрытий.
В классе наступила тишина.
Логическая цепочка замкнулась.
Чтобы покрыть, нужно затратить равное количество каждого числа.
А равенства нет.
— Значит, невозможно, — Чэнь Чжо отложил ручку.
Чжао Чэнь смотрел на лист, открыв рот.
— И… это всё доказательство?
— Угу, — Чэнь Чжо стряхнул с рук пыль и повернулся, чтобы вернуться на место.
— Метод раскраски – основа комбинаторной геометрии. Впредь, сталкиваясь с задачами на покрытие, не спешите рисовать фигуры, сначала подумайте, как раскрасить так, чтобы создать противоречие.
Он сел на свое место и открыл книгу.
— Всё, хватит сидеть с открытыми ртами, следующая задача.
За его спиной старшие сокурсники переглядывались.
Особенно Ван Ян. Глядя на простую числовую матрицу, он чувствовал, как его интеллект только что размазали по полу.
Дело было не в сложности задачи.
А в том, что метод оказался настолько изящным, настолько наглым и настолько…
— Круто, — Ван Ян долго пытался подобрать слова, но выдавил только это.
Никаких сложных вычислений, никаких утомительных переборов вариантов.
Просто расставил числа, посчитал – и бой окончен.
— Как же его мозг… — пробормотал Ван Ян.
— …устроен?
Комментарии